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如图, 在坐标平面内, 抛物线y=ax2 bx 1交y轴于A, 交x轴于B(4,0),交AD于D(3,5/2), 过D作DC⊥x轴, 垂足为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)P在线段OC上(不与O,C重合), 过P作PN⊥x轴, 交AD于M, 交抛物线于N, 连接CM, 求△PCM面积的最大值;

(3)若P是x轴正半轴上的动点, 设OP=t, 是否存在t, 使以点M, C, D, N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出t值，如果不存在，说明理由.

解：(1)列方程组：｛16a b 1=0, 9a 3b 1=2.5｝(用一式除以4-二式除以3解方程组更简便)

∴抛物线的解析式为：y=-3x^2/4 11x/4 1.

（解法一运用了待定系数学，关键是要仔细解方程组，不能出错，一旦出错，后面两道小题都会出错）

(2)直线AD的解析式为：y=x/2 1, （可用待定系统法求，这里运用了求斜率k的公式，斜率等于直线上两点的纵坐标差除以横坐标差）

设P(t,0), 则PM=t/2 1, PC=3-t,

S△PCM=PC·PM/2=(t/2 1)(3-t)/2

=3t/4 3/2-t^2/4-t/2= -t^2/4 t/4 3/2

= [-(t-1/2)^2]/4 25/16,

∴当t=1/2时, S△PCM=25/16最大.

(3)当P点在C点的左侧时,

若四边形MNDC是平行四边形,则MN=CD, (有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

即(-3t^2/4 11t/4 1)-(t/2 1)=5/2

化简得：-3t^2 9t-10=0,

△=81-120<0, t不存在.

当P点在C点的右侧时, (t/2 1)-(-3t^2/4 11t/4 1)=5/2,

化简得： 3t2-9t-10=0,

解得：t1=(9 √201)/6或t2=(9-√201)/6<0(舍去)， (因为点P在x轴的正半轴上)

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