今天窝牛号就给我们广大朋友来聊聊牛吃草问题变形例题,以下关于牛吃草问题延伸例题的观点希望能帮助到您找到想要的学习。

最佳答案牛吃草问题概念及公式：

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

工程问题公式：

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

工作量=工作效率×时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子.

一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

再根据基本数量关系式，得到

所需时间=工作量÷工作效率

例题： 一项工程，甲单独施工10天完成，乙单独施工15天完成。两人合作几天完成这项工程？

分析：把这项工程看做单位“1”，甲单独施工10天完成，就说明甲一天可以完成这项工程的1/10，也就是甲的工作效率是1/10；同样的道理，乙单独施工15天完成，就说明乙一天可以完成这项工程的1/15，也就是乙的工作效率是1/15。

现在两人要合作，那么他们一天就可以完成这项工程的（1/10+1/15），也就是他们的工作效率之和是（1/10+1/15）。要求合作几天完成，就用：

工作总量÷工作效率之和=工作时间

●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

2+8+ 1= 11（天）.

答：从开始到完工共用了11天.

解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

解四：

方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)

甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）

列算式为：1÷（1/10+1/15）=6（天）

答：两人合作6天完成这项工程。

行程问题公式：

基本公式：路程=×时间

路程÷时间=

路程÷=时间

平均=总路程÷总时间

相遇问题（直线）

甲的路程+ 乙的路程=总路程

相遇问题（环形）

甲的路程+乙的路程=环形周长

编辑本段

追及问题

追及时间=路程差÷差

差=路程差÷追及时间

追及时间×差=路程差

追及问题（直线）

距离差=追者路程-被追者路程=差X追及时间

追及问题（环形）

快的路程-慢的路程=曲线的周长

编辑本段

流水问题

顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速－水速）×逆水时间

顺水=船速+水速

逆水=船速－水速

静水=（顺水+逆水）÷2

水速：（顺水－逆水）÷2

船速：(顺水+逆水）÷2

编辑本段

解题关键

船在江河里航行时，除了本身的前进外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：

顺水=船速+水速，（1）

逆水=船速-水速.（2）

这里，船速是指船本身的，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水和逆水分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

水速=顺水-船速，

由公式（2）可以得到：

水速=船速-逆水，

船速=逆水+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的，船的实际和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。

另外，已知船的逆水和顺水，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：

船速=（顺水+逆水）÷2

水速=（顺水-逆水）÷2

时间*=时间

例1： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的和顺水所需要的时间，或者逆水和逆水的时间。已知顺水和水流，因此不难算出逆水的，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为

28-4×2=20 （千米）

20×2=40（千米）

40÷（4×2）=5（小时）

28×5=140 （千米）。

综合式：（28-4×2）×2÷（4×2）×28

最佳答案牛吃草问题总结

牛吃草变形题分块

1. 从问题的角度分：草长，问时间

1.有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果

养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析

（这种方法叫列表分析）

27头牛 6天 27×6＝162 ：原有草量＋6天生长的草量

23头牛 9天 23×9＝207 ：原有草量＋9天生长的草量

从上易发现：9－6＝3天生长的草量＝207－162＝45，即1天生长的草量＝45÷3

＝15；

那么原有草量：162－15×6＝72或207－15×9＝72。

21头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下6头牛需要72÷6＝12（天）可

将原有草吃完，即它可供21头牛吃12天。

2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40

分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水

淘完

分析：设1人淘1分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方

便分析

3人 40分钟 3×40=120：原有水+40分钟的进水

6人 16分钟 6×16=96 ：原有水+16分钟的进水

从上易发现：24（=40-16）分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1；

那么原有水量：120-40×1=80；

5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20

（分钟）将把水淘完。

2. 从条件的角度分：草减，问牛。

3.有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天.那么它

可供几头牛吃20天

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析

12头牛 25天 12×25＝300 ：原有草量＋25天生长的草量

24头牛 10天 24×10＝240 ：原有草量＋10天生长的草量

从上易发现： 25－10＝15天生长的草量＝300－240＝60，即1天生长的草量＝

60÷15＝4；

那么原有草量：240－4×10＝200；

20天里，共草场共提供草200＋4×20＝280，可以让280÷20＝14（头）牛吃20

天。

4.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的在减少.已知

某块草地上的草可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天.照此计算，可以供

多少头牛吃10天

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分

析

40头牛 5天 40×5＝200 ：原有草量－5天自然减少的草量

30头牛 6天 30×6＝180 ：原有草量－6天自然减少的草量

从上容易发现：1天自然减少的草量＝20；那么原有草量：200＋5×20＝300；

10天吃完需要牛的头数是：300÷10－20＝10（头）。

5.一艘船有一个漏洞，水以均匀的进入船内，当发现漏洞时船内已有一些水，

现在要派人将水淘出船外，如果派10个人需要4小时淘完；如果派8个人需要

6小时淘完.若要求用2小时淘完，需要派多少人

分析：设1人1小时淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便

分析

10人 4小时 10×4＝40 ：原有水量＋4小时进水量

8人 6小时 8×6＝48 ：原有水量＋6小时进水量

从上易发现：2小时进水量＝48－40＝8，即1小时进水量＝4；那么原有水量：

40－4×4＝24；若2小时淘完，那么共需要淘出水：2×4＋24＝32 ,需要32÷2＝16

（人）

10.一片茂盛的草地，每天的生长相同，现在这片青草16头牛可吃15天，

或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头

牛与48只羊一起吃，可以吃多少天

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分

析

16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量

100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150：原有草量＋6天生长的草量

从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下

的10头牛吃原有草90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

11. 【附加选讲】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如

果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛

和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几

天可以将这片牧草吃尽？

分析：设1头马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

马和牛 15天 15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）

马和羊 20天 20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）

牛和羊（同马） 30天 30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）

由（1）×2－（3）可得： 30天牛吃草量＝原有草量牛每天吃草量＝原有草

量÷30；

由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草

量；

讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20得牛

每天吃草量＝2/3

这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷

（1＋2/3）＝12（天）。

【巩固】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的

总量正好是牛吃草的总量.如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，

可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天.这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它

们吃多少天

分析：设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

牛和羊45天45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量（1）

牛和鹅60天60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量（2）

鹅和羊（同牛）90天90牛（鹅和羊）吃＝原有草量＋90天新长草量（3）

由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量＝原有草量羊每天吃草量＝原有草

量÷90；

由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新

长草量；

讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）90天羊吃草量＝60

得羊每天吃草量＝2/3

这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：6

0÷（1＋2/3）＝36（天）。

变形5：从问题的角度：（只问原草或只问新草）

12.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，

4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

分析：一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设

1人1天喝酒量为“1”

6人 4天 6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒

4人 5天 4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒

从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。

13.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生话300年.

假设地球新生的资源增长的是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最

多能养活多少人

分析：设1亿人1年消耗的资源为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便

分析

100亿人 100年 100×100＝10000：原有资源＋100年新增资源

80 亿人 300年 80×300＝24000：原有资源＋300年新增资源

从上容易发现：200年新增资源＝24000－10000＝14000，即1年新增资源＝70；

为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活70÷1＝70（亿）人。

【巩固】两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃往井底.白天往下爬，两只

蜗牛白天爬行的是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米.黑

夜里往下滑，两只蜗牛滑行的却是相同的.结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到

达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底.那么，井深多少米

分析：一只蜗牛：5×白天下爬距离20 ＋ 5×夜晚下滑距离＝井深；

另一只蜗牛：6×白天下爬距离15 ＋ 6×夜晚下滑距离＝井深；

所以 5×20 ＋ 5×夜晚下滑距离＝ 6×15 ＋ 6×夜晚下滑距离，即1个夜晚下滑距

离＝10（分米），进而可得井深＝5×20 ＋ 5×10 ＝150（分米）。

经典的“牛吃草”的变例

变形6：从题型的角度：行程问题。

14.快中慢三辆车同时从同一点出发，沿同一条路追赶前面的骑车人，现在知道

快车为60千米／小时，中车的为50千米／小时，慢车为35千米

／小时,快车追上骑车人要4小时。中车追上骑车人要5小时，问：慢车追上骑

车人要几个小时？

分析：分析题知道车相当于“牛”，原来的追及路程相当于“原有草”，骑车人相当

于“新生草”，

设骑车人1小时走的路程为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

快车 60千米 4小时 60×4＝240 ：追及路程＋4小时骑车人走的路程

中车 50千米 5小时 50×5＝250 ：追及路程＋5小时骑车人走的路程

从上表看5－4＝1（小时）骑车人走的路程为（250－240）＝10，追及路程为：

240－10×4＝200

所以慢车追及骑车人需要：200÷（35－10）＝8（小时）。

15.有固定行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在的2倍追乙车，5小时后

甲车追上乙车，如果甲车以现在的3倍追乙车，3小时后甲车追上乙车，那

么如果甲车以现在的去追乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？

分析：分析题知道甲车相当于“牛”，甲追乙的追及路程相当于“原有草”，乙车相

当于“新生草”，

设甲的为“1”，摘录条件，讲其转化为如下的形式为

2倍的甲速 5小时 2×5＝10：追及路程＋5个小时乙走的路程

3倍的甲速 3小时 3×3＝ 9：追及路程＋3个小时乙走的路程

从表上看乙5－3＝2小时走的路程为10－9＝1，乙的为1÷2＝0.5，追及路

程为：10－0.5×5＝7.5

甲以现在的追乙的时间为：7.5÷（1－0.5）＝15（小时）。

【附加选讲】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若

骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，

1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多长时间可以追上小明？

分析：自行车：每小时15千米 3小时 15×3－3小时小明走的路程＝追及距离

摩托车：每小时35千米 1小时 35×1－1小时小明走的路程＝追及距离

所以15×3－3小时小明走的路程＝35×1－1小时小明走的路程，即1小时小明走

的路程＝5（千米），那么追及距离＝15×3－5×3＝30（千米）。汽车去追的话需要：

30÷（45－5）＝（小时）＝45（分钟）。

变形7：从题型的角度：多块草地

16.有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且

长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：

第三块草地可供50头牛吃几周

分析：设1头牛1周吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分

析

24头牛6周吃掉24×6＝144份，说明：

1公亩牧场 6周提供144÷4＝36份草：1公顷原有草量＋ 6周1公顷新生草

36头牛12周吃掉36×12＝432份，说明

1公亩牧场12周提供432÷8＝54份草：1公顷原有草量＋12周1公顷新生草

每公亩牧场12－6＝6周多提供54－36＝18份草，说明1公亩牧场1周的草生长

量为18÷6＝3份， 1公顷原有草量＝36－3×6＝18。1天10公顷新生草＝3×

10＝30；10公顷原有草＝18×10＝180；

50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要180÷20=9

周可以把原有草量吃完，即这块草地可供50头牛吃9周。

17.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,

这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一

块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便

分析

18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然增加的草量

27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然增加的草量

从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天

生长草量＝72÷8＝9；

那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。

则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144

×（6000÷2000）＝432.

6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。

18.【拓展】可以在十二讲的【例5】的基础上拓展为：有一块1200平方米的牧

场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头

牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块

牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便

分析

10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量

15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量

从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1

天生长草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100

×（3600÷1200）＝300.

75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）

可将原有草吃完，即它可供25头牛吃5天。

变形8：排队问题

19.画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来

的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场

口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

分析：入场口为“牛”， 开门前原有的观众为原有“原有草量”，每分钟来的

观众为“草的增长”

设每一个入场口每分钟通过“1”份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便

分析

3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人

5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人

从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：

27－9×0.5＝22.5；

这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点

－45分=8点15分。

说明：从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细

体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似“草长的”；入场口类似“牛”，

问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是

否掌握了方法的实质。

变形9：电梯问题和工程问题。

20.自动扶梯以均匀的由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼.已知男

孩每分钟走20级阶梯，女孩每分钟走15级阶梯，结果男孩用了5分钟到达楼上，

女孩用了6分钟到达楼上.问：该扶梯共有多少级

分析：男孩： 每分钟20级 5分钟 20×5＋5分钟扶梯自动运行的台阶数＝扶梯

台阶数

女孩： 每分钟15级 6分钟 15×6＋6分钟扶梯自动运行的台阶数＝扶梯台阶数

所以20×5＋5分钟扶梯自动运行的台阶数＝15×6＋6分钟扶梯自动运行的台阶

数，即1分钟扶梯自动运行的台阶数＝100－90＝10，那么 扶梯台阶数＝100＋5

×10＝150（阶）。

解答牛吃草问题的常用步骤：

(1)求出两个总量；

(2)总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；

(3)每天长草量×天数=新长出来的草；

(4)草的总量=新长出来的草+原有的草；

(5)原有的草÷吃原有草的牛=能吃多少天(或原有的草÷能吃多少天一吃原有草的

牛)。

方程法解牛吃草问题：

一般设出原有量、单位时间的增加量、单位时间消耗量来解题。

要点提示：

牛吃草问题的核心等式：

牛吃草总量=草场原有草量+新长草量

这两种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行的比较，

是获得解题思路的捷径。这种比较主要有两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时

间差”。

具体的关系为：

牛的头数×吃的天数=草场原有的草量+每天长草量×吃的天数

由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：

(1)每天长草量

(2)草场原有草量

【例】两个运动员逆着自动扶梯行驶的方向行走，A每秒可走5级阶梯，B每秒可走4级阶

梯。从扶梯的一端走到另一端，A用时200秒，B用时比A多两倍，那么该扶梯共多少级阶

梯？（ ）

A．300 B．400 C．500 D．600

【答案】A

【解题关键点】根据题意，运动员走阶梯的×行走的时间=扶梯的具体数+扶梯行走的速

度×行走的时间。这是牛吃草问题的扩展，扶梯的阶数是“原有的草量”，运动员走阶梯的

就是“牛的头数”，扶梯行走的就是“草的增长”。可以直接应用牛吃草问题的

公式，扶梯每秒下降的级数是[4×200×（2+1）-5×200]÷[200×（2+1）-200]=3.5级，扶梯

的级数为（5-3.5）×200=300级。

最佳答案有一片牧场，草每天都均匀的生长，如果24头牛，6天吃完，21头牛，8天吃完，每只牛每天吃的一样，问如果16牛，能吃几天？

（1）草的生长＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长×吃的天数；`

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这是牛吃草的原型题。

在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅旅客安全，大厅入口处旅客排队以等进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开10个售票窗口，5个小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开112个售票窗口，3个小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票相同。由于售票大厅入口处进入增加到原的1.5倍，为了在2小时内使大厅中所有的旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口多少个？

这是牛吃草的变形题例子。

请偶>.<

最佳答案“牛吃草问题”是非常经典的一类数学运算题型，在小学奥数里通常是用“公式法”进行求解，而在数量关系考试当中我们更多利用核心公式列方程来求解，这两种方法虽然本质一样，但是后者效率更高一些。在做题过程中很多学员反馈说我已经把牛吃草问题的公式记熟了，但是为什么还是不会列式做题呢原因很简单，就是大家没有从原理上理解牛吃草问题的公式，我们不仅要记公式，更重要的是理解公式的来源和本质，只有做到真正地理解，才能在多变的试题中做到以不变应万变。

我们知道牛吃草问题的核心公式是: 。其中“y”代表原有存量(即“原有草量”)，”N ”代表促使原有存量减少的变量(即“牛头数”)，“x”代表存量的自然增长(即“草长度”)，“”代表存量完全消失所耗用的时间。

首先我们来分析一下这个公式：我们知道牛吃草问题描述的是一群牛去吃一片草地，牛在吃草的过程中草也在不断的生长，但是这群牛吃草的要快于草生长的，换句话说就是这群牛每天除了吃掉新长出来的草以外，还会吃一部分原有的草，最后会把草地上的草全部吃完。那么就有原有草量=(牛群吃草-草生长)×吃完草时间，因此结合公式我们知道”N”应该代表牛群吃草，但是为什么说“N” 可以表示牛头数呢原因就是我们默认每头牛的吃草是一样的，而题目中没有给出具体的值，因此我们给每头牛的吃草赋值为1，那么这群牛的吃草为 ，即与牛头数是一致的，因此可以用牛头数来代替，而草的生长我们也不知道，那么我们就将其设为每头牛吃草的x倍，即x。但是当题目中给出每头牛的吃草时需要注意=牛头数×每头牛吃草，此时我们仍然可以设草的生长为。

当然，在实际考试过程中牛吃草模型可以套用到游泳池放水、漏船排水、窗口售票、资源开采等各种环境，但是万变不离其宗，只要我们能够明确原有存量、促使原有存量减少的变量、促使存量增多的变量分别指的是什么，然后按照公式列方程，所有问题都可以迎刃而解 。

例题精讲

【例1】：某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采(假定该河段河沙沉积的相对稳定)

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B

【解析】本题属于资源开采，没有告诉每个人员的开采，可以直接套用牛吃草公式 。其中y是指河沙初始量, 是指开采(单个人员开采赋值为1，N则可指参与开采的人数)，x指河沙沉积，T指开采时间。将题干中的条件代入有 。联立①②可得N=30,要想进行不间断开采，则最大开采应等于沙河沉积的，即N=30，则最多可供30人进行开采。故正确答案选B。

【点拨】

【例2】：某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，若同时使用2台抽水机15分钟能把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水( )立方米。

A.360

B.450

C.540

D.600

【答案】B

【解析】本题属于漏船排水，仍然是牛吃草问题的变形式，可以套用牛吃草公式 。这里，抽水机相当于“牛”，进水相当于新长出来的“草”，抽水前已进水量相当于“原有草量”，由于本题给出了每台抽水机的，所以N=抽水机数量×每台抽水机，另外可以设初始进水量为y立方米,设进水x立方米/分钟，T指将水抽干的时间，将题干中的条件代入有 。联立①②可得=10，，故当抽水机开始向外抽水时该轮船已经进水450立方米。所以选B。

【点拨】

【例3】：由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一致，若打开2个水闸放水，则3天后正好到达警戒水位;若打开3个水闸放水，则4天后正好到达警戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位

A.8

B.7

C.6

D.5

【答案】C

【解析】本题属于牛吃草问题的变形，只不过不同的是本题的进水大于放水，因此水池的水在不断增加，而不是减少。但是原有水量的水位到警戒水位之间所能存放的水量是固定的，设为，进水设为，表示放水(题目未告诉单个水闸放水，可赋值为1，则可指水闸个数)，T表示达到警戒水位所用的时间，则有，根据题意代入数据可得①，②。联立①②可得=6，。气象台预报，流入水库的水量增加20%，则每天进入水库的水量为，设至少打开n个水闸可以保证未来7天不达到警戒水位，则有，解得所以至少打开5.5个水闸才能满足条件，应该向上取整为打开6个水闸。故正确答案选C。

【点拨】

通过原理以及例题的讲解，相信大家对牛吃草问题有了更加深入的认识。在今后的练习当中大家要抓住牛吃草问题公式的本质，多加练习，多加总结，最后一定可以将这类问题收入囊中。最后预祝各位考生在考试中脱颖而出，成功上岸。

最佳答案 小升初数学题及答案：牛吃草问题

有三块草地，面积分别是4亩、8亩、10亩，草地上的.草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问第三块草地可供50头牛吃几周？

解法一：设每头牛每周吃1份草。

第一块草地4亩可供24头牛吃6周，

说明每亩可供24÷4＝6头牛吃6周。

第二块草地8亩可共36头牛吃12周，

说明每亩草地可供36÷8＝9/2头牛吃12周。

所以，每亩草地每周要长（9/2×12－6×6）÷（12－6）＝3份

所以，每亩原有草6×6－6×3＝18份。

因此，第三块草地原有草18×10＝180份，每周长3×10＝30份。

所以，第三块草地可供50头牛吃180÷（50－30）＝9周

解法二：设每头牛每周吃1份草。我们把题目进行变形。

有一块1亩的草地，可供24÷4＝6头牛吃6周，供36÷8＝9/2头牛吃12周，那么可供50÷10＝5头牛吃多少周呢？

所以，每周草会长（9/2×12－6×6）÷（12－6）＝3份，

原有草（6－3）×6＝18份，

那么就够5头牛吃18÷（5－3）＝9周

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